MATEMÁTICA TODAS AS SÉRIES DO ENSINO FUNDAMENTAL

Símbolos

Divisibilidade
Critérios de divisibilidade

São critérios que nos permite verificar se um  número é divisível por outro sem precisarmos efetuar a divisão.

Divisibilidade por 2

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.

Exemplos :
8490  é divisível por 2, pois termina em 0. 895 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.

Exemplo:
870 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 8+7+0=15, como 15 é divisível por 3, então 870 é divisível por 3.

Divisibilidade por 4

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.

Exemplo:
9500 é divisível por 4, pois termina em 00. 6532 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4. 836 é divisível por 4, pois 36 é divisível por 4. 9870 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 70 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.

Exemplos:
425 é divisível por 5, pois termina em 5. 78960 é divisível por 5, pois termina em 0. 976 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

Exemplos:
942 é divisível por 6, porque é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 6456 é divisível por 6, porque é divisível por 2  e por 3 ao mesmo tempo. 984 não é divisível por 6, é divisível por 2, mas não é divisível por 3. 357 não é divisível por 6, é divisível por 3, mas não é divisível por 2.

Divisibilidade por 8

Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.

Exemplos:
2000 é divisível por 8, pois termina em 000. 98120 é divisível por 8, pois 120 é divisível por 8. 98112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 78341 não é divisível por 8, pois 341 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.

Exemplo:
6192 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 6+1+9+2=18, e como 18 é divisível por 9, então 6192 é divisível por 9.

Divisibilidade por 10

Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.

Exemplos:
8970 é divisível por 10, pois termina em 0. 5987 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.

Exemplos:
87549     Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22     Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11     Si – Sp = 22 – 11 = 11     Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10     Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21     Si – Sp = 10 – 21     Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.     Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12

Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.

Exemplos:
1200 é divisível por 12, porque é divisível por 3  e por 4 ao mesmo tempo. 870 não é divisível por 12 é divisível por 3, mas não é divisível por 4. 8936 não é divisível por 12 é divisível por 4, mas não é divisível por 3.

Divisibilidade por 15

Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo.

Exemplos:
9105 é divisível por 15, porque é divisível por 3  e por 5 ao mesmo tempo. 9831 não é divisível por 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 5. 680 não é divisível por 15 é divisível por 5, mas não é divisível por 3.
Números Primos

Números primos são os números naturais divisíveis apenas por 1 e ele mesmo.

Exemplos:
2  tem apenas os divisores 1 e  2, portanto 2 é  primo.
23 tem apenas os divisores 1 e 23, portanto 23 é primo.
10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é  primo.
Atenção:
1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor  ele mesmo.
2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 36  tem mais de dois divisores então 36 é um número composto.

Como saber se um número primo

Devemos dividir o número dado pelos números primos menores que ele, até obter um quociente menor ou igual ao divisor.
Se nenhum das divisões for exata, o número é primo.
Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser escrito na forma de uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. É o que nós chamamos de forma fatorada de um número

Decomposição do número 36:
36 = 9 x 4
36 = 3 x 3 x 2 x 2
36 = 3 x  3 x 2 x 2 = 22 x 32
No produto 2 x 2 x 3 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 36 a decomposição de 36 num produto de fatores primos.
Então a fatoração de 36 é 22 x 32

Método Prático Escrever  a Forma Fatorada de um Número Natural

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º  Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º  A seguir,  dividir o quociente obtido pelo seu menor divisor primo.
3º  Proceder dessa forma, daí por diante, até obter o quociente 1.
4º  A forma fatorada do número
120 = 23 x 3 x 5
*

Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 72:
1º  Fatoramos o número 72.
2º  Traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número.
3º Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo.
4º Os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
Então o conjunto dos divisores de 72 = {1,2,3,4,6,8,9,12,18,36,72}

Máximo Divisor Comum

Dados dois números naturais que não sejam todos nulos, o máximo divisor comum entre eles é o maior número que é ao mesmo tempo divisível por todos eles.

Alguns exemplos:
m.d.c (2, 4) = 2          m.d.c (8, 12) = 4          m.d.c (28,36) = 4          m.d.c (25,40,60) = 5          m.d.c (6,12,15) = 3
Números Primos Entre Si

Dados dois números naturais não-nulos,  se o m.d.c entre eles for igual a 1, estes números são primos entre si.

Exemplos:

m.d.c (12, 5) = 1, então 12 e 5 são primos entre si

CÁLCULO DO M.D.C.

1º : Método da decomposição em fatores primos
Decompomos cada um dos números em fatores primos. O m.d.c é o produto dos fatores primos comuns, com menor expoente.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 120 e 72:
120 = 23 x 3 x 5
72 =   23 x 32
O m.d.c (120,72) = 23 x 3 = 8 x 3 = 24
2º : Método das divisões sucessivas ou método de Euclides
Dividimos o maior número pelo número menor.
Se a divisão for exata, o m.d.c entre os números é o menor deles;
Se a divisão não for exata, dividimos o menor número pelo primeiro resto. Se essa nova divisão também não for exata, dividimos o primeiro resto pelo segundo. Efetuamos, assim, sucessivas divisões até obter zero. O m.d.c é o último divisor.
Exemplo: m.d.c (30,35)
Então o m.d.c(30,35) = 7
Exemplo: m.d.c (150,65)
Então o m.d.c(150,65) = 5
3º  Decomposição simultânea
Este dispositivo permite que os números sejam fatorados ao mesmo tempo, usando apenas fatores primos comuns a todos os números, a ser calculado o m.d.c.
Exemplo: m.d.c(252,120)
PROPRIEDADE DO M.D.C.

Se a é múltiplos de b, então o m.m.c(a,b) = b
Exemplo: m.d.c(2,12,24) = 2
m.d.c(10,30,40) = 10

Mínimo Múltiplo Comum de Números Naturais

Dados dois números naturais diferentes de zero, denominamos mínimo múltiplo comum desses números, o menor   entre seus múltiplos comuns, diferente de zero.

Calculando o M.M.C

1º Método de obtenção do m.m.c
Exemplo: m.m.c(14,70,200)
Decompomos cada um dos números dados em fatores primos: 14 = 2 x 7     70 = 2 x 5 x 7     200 = 23 x 52
O m.m.c é o produto dos fatores primos dos dois números, comuns e não comuns, com os maiores expoentes.
Então:
O m.m.c(14,70,200) = 23 x 52 x 7 = 1400

2º Decomposição Simultânea em Fatores Primos
Fatoramos os números simultaneamente, para descobrir os fatores primos comuns e não comuns desses números. O m.m.c entre eles é  o produto desses fatores.
Exemplo: m.m.c(14,70,200)
Então o m.m.c(70,14,200) = 23 x 52 x 7 = 1400

Propriedade do M.M.C

Se e a é múltiplo de b, então o m.m.c(a,b) = b.
Exemplos:
m.m.c(2,8) = 8
m.m.c(5,20,30) 30

Regra de Três

Grandezas

Diretamente e Inversamente Proporcionais

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado.
O volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo,  são alguns exemplos de grandezas.

No nosso dia-a-dia encontramos varias situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Em uma corrida  quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Numa construção , quanto maior for o número de funcionários, menor será o tempo gasto para que esta fique pronta.  Nesse caso, as grandezas são o número de funcionário e o tempo.

Grandezas Diretamente Proporcionais

Em um determinado mês do ano o litro de gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base esse dado podemos formar a seguinte tabela.

Quantidade de gasolina (em litros) Quantidade a pagar (em reais)
1 0,50
2 1,00
3 1,50

Observe:
Se a quantidade de gasolina dobra o preço a ser pago também dobra.
Se a quantidade de gasolina triplica o preço a ser pago também triplica.
Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de gasolina, são chamadas grandezas diretamente proporcionais.

Duas grandezas são chamadas,  diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas a outra também dobra; triplicando uma delas a outra também triplica.

Observe, que as razões são iguais.

Grandezas inversamente proporcionais

Um professor de matemática tem 24 livros para distribuir entre os seus melhores  alunos. Se ele escolher apenas 2 alunos, cada um deles receberá  6 livros. Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros. Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.

Observe a tabela:

Número de alunos escolhidos. Números de livros para cada aluno
2 12
4 6
6 4

Se o número de aluno dobra, a quantidade de livros cai pela metade.
Se o número de alunos triplica, a quantidade de livros cai para a terça parte.

Duas grandezas são inversamente proporcionais  quando, dobrando uma delas, a outra se reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra se reduz para a terça parte… e assim por diante.


Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam um na razão inversa do outro.

Regra de Três.

Consta na história da matemática que os gregos e os romanos conhecessem as proporções, porem não chegaram a aplica-las na resolução de problemas.

Na idade média, os árabes revelaram ao mundo a regra de três. Nos século XIII, o italiano Leonardo de Pisa difundiu os princípios dessa regra em seu livro Líber Abaci, com o nome de Regra de Três Números Conhecidos.

Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples

        Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

        Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

        Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

a)     Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de 12 m do mesmo tecido?

Observe que o exercício foi montado respeitando o sentido das setas.

A quantia a ser paga é de R$234,00.

b)     Um carro, à velocidade de 60km/h, faz certo percurso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Resolução: 

Observe que o exercício foi montado respeitando os sentidos das setas.

Regra de Três Composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplo:

a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3? 

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Resolução:

Será preciso de 25 caminhões.

Porcentagem

Toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.

Exemplo:

Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima  significa por cento.

Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.

Exemplos:

O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.

A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.

Desconto de 25% nas compras à vista.

Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos.

Exemplos:

Trabalhando com Porcentagem

Vamos fazer alguns cálculos envolvendo porcentagens.

Exemplos:

1.      Uma televisão custa  300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?

10% de 100  

300 – 30 = 270

Logo, pagarei 270 reais.

2.      Pedro usou 32% de um rolo de mangueira de 100m. Determine quantos metros de mangueira Pedro usou.

32% =

Logo, Pedro gastou 32 m de mangueira.

3.      Comprei uma mercadoria por 2000 reais. Por quanto devo vende-la, se quero obter um lucro de 25% sobre o preço de custo.

O preço de venda é o preço de custo somado com o lucro.

Então, 2000 + 500 = 2500 reais.

Logo, devo vender a mercadoria por 2500 reais.

4.      Comprei um objeto por 20 000 reais e o vendi por 25 000 reais. Quantos por cento eu obtive de lucro?

Lucro:   25 000 – 20 000 =  5 000 ( preço de venda menos o preço de custo)

5.      O preço de uma  casa sofreu um  aumento de 20%, passando a ser vendida por 35 000 reais. Qual era o preço desta casa antes deste aumento?

Porcentagem                     Preço

120                                    35 000

100                                     x

Logo, o preço anterior era 29 166,67

Estudando Juros

Juros Simples:

A idéia de juros todos nós temos, é muito comum ouvirmos este termo em jornais, revistas. Mas o que realmente significa juros.

Juro é aquela quantia que é cobrada a mais sobre  uma determinada quantia a ser paga ou recebida.

Juros Simples ou simplesmente Juros, são representado pela letra j.

O dinheiro que se empresta ou se deposita chamaremos de Capital e representaremos pela letra c.

O Tempo que este dinheiro ficara depositado ou emprestado, representaremos pela letra t.

A Taxa é a porcentagem que devera ser cobrada, pelo tempo que o dinheiro ficou depositado ou emprestado. É representado pela letra i.

Observe:

Capital = c             Juros = j              Tempo = t            Taxa = i

Resolução de Problemas

Estes problemas, podem ser resolvidos por regra de três composta, mas para facilitar os cálculos podemos usar uma fórmula.

Exemplos:

1.      Quanto rende de juros um capital de 1 500 reais, durante 3 anos, à taxa de 12% ao ano?

Logo, rendera de juro 540 reais.

2.      Qual o capital que rende 2 700 reais de juros, durante 2 anos, à taxa de 15% ao ano?

Logo, o capital era de 9 000 reais.

3.      Por quanto tempo o capital de 6 000 reais esteve emprestado à taxa de 18% ao ano para render 4 320 de juros?

Logo, durante 6 anos

4.      A que taxa esteve emprestado o capital 10 000 reais para render, em  3 anos,14 400 reais de juros?

Logo, a taxa é de 48%.

Observação:

Devemos ter o cuidado de trabalharmos com o tempo e taxa sempre na mesma unidade.

Taxa  em ano  =   tempo em anos

Taxa em mês  =   tempo em mês

Taxa em dia   =    tempo em dia

Exemplos:

5.      Vamos calcular os juros produzidos por 25 000 reais à taxa de 24% ao ano  durante 3 meses.

Logo, o juro  que este capital vai render  é  de 2 500 reais.

Geometria

O nome Geometria em grego, significa medida da terra. (geo = terra; metria = medida)
No antigo Egito, a geometria era amplamente utilizada. Os agrimensores usava-na para medir terrenos, enquanto os construtores recorriam  a ela para fazer edificações.  As famosas pirâmides, construídas próximas ao rio Nilo, são um ótimo exemplo disso
O Egípcios  ganharam tanta fama que os matemáticos gregos iam constantemente ao Egito em busca de novas aplicações na geometria.
Por volta de 600 a.C, os matemáticos gregos começam a sistematizar os conhecimentos geométrico que foram adquirindo, fazendo com que a Geometria deixasse de ser puramente experimental.
Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C, e reunido numa obra de 13 volumes, chamada os Elementos.
Toda a geometria que estudamos hoje é praticamente a mesma daquela época.

Ponto, Reta e Plano

Ponto, reta e plano não são definidos. Temos a idéia intuitiva de ponto (quando olhamos uma estrela no céu, localizamos uma cidade no mapa etc…), de reta (observando as linhas do campo de futebol, de uma quadra de futsal os fios da rede elétrica bem esticado etc…),  de plano (observando o piso de sua casa, o campo de futebol a superfície de uma piscina etc…).
Se observarmos bem a nossa volta,  vamos nos deparar com estes a todo momento.
Ponto: Não possui dimensões. Representamos o ponto por uma letra maiúscula do alfabeto latino.
Exemplos:
Reta: A reta é imaginada sem espessura, não tem começo e nem fim. Representamos a reta por uma letra minúscula  do alfabeto latino, quando desenhamos uma reta no caderno ou quadro, estamos representado parte da reta.
Exemplos:
Plano: O plano é imaginado como um conjunto infinito de pontos. Plano é imaginado sem limites em todas as direções, como acontece com a reta é impossível representarmos o plano no papel ou quadro. Por isso representamos parte deste. Representamos o plano por uma letra do alfabeto grego. Como alfa(a), beta (b) e gama (.)g
Exemplos:
Observe:
Devemos lembrar que, usamos pertence e não pertence para relacionar elemento e conjunto, está contido e não está  contido  para relacionar conjunto com conjunto. Vale lembrar que ponto é elemento, reta e plano são conjuntos.

Segmento de Reta

Dados dois pontos distintos(diferentes), a reunião do conjunto  desses dois pontos com o conjunto dos pontos que estão entre eles é um seguimento de reta.
Exemplo:

Semi-reta

Como vimos em geometria, a reta é considerada um conjunto de pontos. Considere um ponto A que pertence a uma reta r. Podemos dizer que esse ponto A separa a reta em dois conjuntos de pontos. Cada um desses conjuntos de pontos é denominado semi-reta. O ponto A é chamado origem das semi-resta.
Exemplo:
Observe que:

Trigonometria
A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda a relação entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

Conta a história da matemática que Tales foi um grande estudioso desse ramo da matemática, mas não podemos afirmar que este foi seu inventor. A trigonometria não foi obra de um só homem, nem de um povo só.

Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo

Observe o triângulo retângulo abaixo, onde a é a hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º), b e c são os catetos do triângulo retângulo(catetos são os lado que formam o ângulo de 90º)

Lembre-se, os catetos variam de nome de acordo com a posição do ângulo.
Seno:

Cosseno:

Tangente:

Cotangente:

Razões Trigonométricas Especiais

Existem outros ângulos, seus senos, cossenos, tangentes e cotangentes, se encontram em uma tabela chamada tabela trigonométrica.

Exemplos

  1. Calcule o valor de x na figura abaixo.(observe na tabela sen 30º)

2.   Determine o valor de y na figura abaixo.(observe na tabela con 60º)
3.    Observando a figura seguinte, determine:

Razão e Proporção
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razão de a para b por

Lendo Razões:

Termos de uma Razão

Grandezas Especiais

Escala, é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real. Velocidade média, é a razão entre a distância a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades são diferentes) Densidade demográfica, é a razão entre o número de habitantes e a área. 2 e uma população de 6 471 800 habitantes. Dê a densidade demográfica do estado do Ceará.

Razões Inversas

Vamos observar as seguintes razões. inversas Exemplos:

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